导数
什么是导数
导数是一种数学概念
导数是函数的局部性质,函数在某一点的导数描述了这个函数在这个点附件的变化率,也就是说导数的本质是描述数据变化的快慢趋势
如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是这个该函数所代表的的取消在这一点的切线斜率,所以导数的几何意义就是切线斜率,从这一点说,导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近
不是所有的函数都可导,一个函数也不是所有的点都有导数
所以如果一个函数在某一点上有导数,则称在这个点可导,否则称为不可导
导数的本质数据变化快慢的趋势,所以一个可导的函数必然是连续的,一个不连续的函数一定不可导
如果一个函数在某个区间内都有导数,则称这个函数在某个区间的可导
导数是一个明确的值,在这个区间内所有的导数值最终会产生一个新的函数,这就是导函数
基本初等函数的导函数
| 函数 | 原函数 | 导函数 |
|---|---|---|
| 常数 | y=C(常数) | y’=0 |
| 幂函数 | y=x^n | y’=n*x^(n-1) |
导数的和差积商
假设 u=u(x),v=v(x)都可导,则
- (u+v)=u’+v’
- (u-v)’=u’-v’
- (Cu)’=Cu’
- (uv)’=u’v+u*v’
- (u/v)’=(u’v-uv’) / v^2
反函数的求导
如果函数y=f(x)在区间内可导且f’(y)!=0,则它的反函数在区间内一定可导
且两个导函数互为倒数关系
复合函数求导
设 y=f(x), x=u(v) 则复合函数y=f( u(v) ) 的导数为 f’(u)*u’(x)
高阶导数
函数 y=f(x),则函数的导数 y’=f(x)’
对函数的导数继续求导y’’=(y’)’ ,则y’‘为函数y的二阶导数
同理,n阶导数就是函数的n次导
导数的应用
导数的单调性
导数的本质是数据变化的趋势,趋势中也能体现变化的方向
- 导数大于0,表示数据变化的趋势是逐渐增大
- 导数小于0,表示数据变化的趋势是逐渐变小
- 其中导数为0的点,表示数据的变化驻点
函数的导数在某个区间中恒大于0或恒小于0,则表示函数在这个区间呈现恒上升或恒下降的趋势
此时,则称这个区间为该函数的单调区间
极值点
函数的驻点和不可导点,有可能取得函数的极值(极值点一定是驻点或不可导点,但驻点或不可导点不一定是极值,例如y=x^3,x=0是驻点但不是极点)
- 如果驻点的上导和下导的符号不变,则驻点不可能是极值点,如果符号发生变化,则一定是极值点
- 如果驻点的上导大于0,下导小于0,则该驻点是极大值点
- 如果驻点的上导小于0,下导大于0,则该驻点是极小值点
确定函数极值点的思路一般为
- 对函数求导
- 算出极值的可能点(导数为0的驻点+不可导点)
- 计算极值可能点的上下导符号,最终判定极值点
曲线的凹凸性
若曲线在某个区间内,恒有f( (x1+x2)/2 ) < (f(x1)+f(x2))/2,则该函数为凹函数 反正则称为凸函数
曲线的凹凸通过二阶导数判定
- 二阶导数大于0,则函数是凹函数
- 二阶导数等于,则函数是凸函数
取消的凹凸变化点称为拐点